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分治算法

分治算法介绍

分治法是一种很重要的算法。字面上的解释是 “分而治之”就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或 相似的子问题,再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解,原问题的解即子问题 的解的合并。

分治算法可以求解的一些经典问题:

  • 二分搜索
  • 大整数乘法
  • 棋盘覆盖
  • 合并排序
  • 快速排序
  • 线性时间选择
  • 最接近点对问题
  • 循环赛日程表
  • 汉诺塔

基本步骤

分治法在每一层递归上都有三个步骤:

  1. 分解:将原问题分解为若干个规模较小,相互独立,与原问题形式相同的子问题
  2. 解决:若子问题规模较小而容易被解决则直接解,否则递归地解各个子问题
  3. 合并:将各个子问题的解合并为原问题的解。

算法设计模式

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if |P|≤n0
then return(ADHOC(P))
//将P分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,…,Pk
for i←1 to k
do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) 递归解决Pi
T ← MERGE(y1,y2,…,yk) 合并子问题
return(T)

其中|P|表示问题P的规模;

n0为一阈值,表示当问题P的规模不超过n0时,问题已容易直接解出,不必再继续分解。

ADHOC(P)是该分治法中的基本子算法,用于直接解小规模的问题P。

因此,当P的规模不超过n0时直接用算法ADHOC(P)求解。

算法MERGE(y1,y2,…,yk)是该分治法中的合并子算法,用于将P的子问题P1 ,P2 ,…,Pk的相应的解y1,y2,…,yk合并为P的解。

实践:汉诺塔

起源:

​ 汉诺塔(又称河内塔)问题是源于印度一个古老传说的益智玩具。大梵天创造世界的时候做了三根金刚石柱子,在一根柱子上从下往上按照大小顺序摞着64片黄金圆盘。大梵天命令婆罗门把圆盘从下面开始按大小顺序重新摆放在另一根柱子上。并且规定,在小圆盘上不能放大圆盘,在三根柱子之间一次只能移动一个圆盘。

抽象为数学问题:

​ 如下图所示,从左到右有A、B、C三根柱子,其中A柱子上面有从小叠到大的n个圆盘,现要求将A柱子上的圆盘移到C柱子上去,期间只有一个原则:一次只能移到一个盘子且大盘子不能在小盘子上面,求移动的步骤和移动的次数

  • 1个盘子:

    直接 1号 A —> C

  • 2个盘子:

    1号 A —> B

    2号 A —> C

    1号 B—> C

  • n个盘子

    上面 n - 1 个盘子 A —> B

    n号 A —> C

    上面 n - 1 个盘子 B —> C

不是很难,下面上代码:

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//分治算法:汉诺塔 实现
public class Hanoitower {
public static void main(String[] args) {
hanoitower(1,'A','B','C');
}
//num个盘子,借助b从a移到c
public static void hanoitower(int num,char a,char b,char c){
if(num==1){
System.out.println("第1个盘从 "+a+" 移到 "+c);
return;
}
//上面num-1个借助c从a移到b
hanoitower(num-1,a,c,b);
//最下面一个从a移到c
System.out.println("第"+num+"个盘从 "+a+" 移到 "+c);
//上面num-1个借助a从b移到c
hanoitower(num-1,b,a,c);
}
}

下面我们看看运行结果:

  • 数量为1时:

  • 数量为2时:

  • 数量为3时:

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